미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

고정점을 지나는 삼차함수와 접선

문제

실수 kk에 대하여 함수 f(x)f \left( x \right)=x3+kx2+(2k−1)x+k+3= x ^{3} + kx ^{2} + \left( 2 k - 1 \right) x + k + 3의 그래프가 kk의 값에 관계없이 항상 점 P\mathrm{P}를 지난다. 곡선 y=f(x)y = f \left( x \right) 위의 점 P\mathrm{P}에서의 접선이 곡선 yy=f(x)= f \left( x \right)와 오직 한 점에서 만난다고 할 때, kk의 값은? [4점] ①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

kk의 값에 관계없이 성립하므로 kk에 관한 항등식이다. 즉, x2+2x+1=0x ^{2} + 2 x + 1 = 0이므로 x=−1x = - 1 따라서 점 P\mathrm{P}는 P(−1,3){\mathrm{P}} ( - 1 , 3 ) 점 P\mathrm{P}에서의 접선이 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 오직 한 점에서 만나므로 점 P\mathrm{P}는 변곡점이다. f′(x)=3x2+2kx+2k−1f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 kx + 2 k - 1 f′′(x)=6x+2kf'' ( x ) = 6 x + 2 k f′′(−1)=0f'' ( - 1 ) = 0이므로 −6+2k=0- 6 + 2 k = 0 ∴\therefore k=3k = 3

태그

#변곡점#접선의 방정식

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