공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

고차식의 나머지와 그래프 사분면

문제

x10+3x3−2x ^{10} + 3 x ^{3} - 2를 x2−x+1x ^{2} - x + 1로 나눈 나머지를 p(x)p ( x )라고 할 때, y=p(x)y = p ( x )에 대하여 다음 설명 중 옳은 것은? ①제 1,2,31 , 2 , 3사분면만을 지난다.②제 1,2,41 , 2 , 4사분면만을 지난다.③제 1,3,41 , 3 , 4사분면만을 지난다.④제 2,3,42 , 3 , 4사분면만을 지난다.⑤제 3,43 , 4사분면만을 지난다.

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④

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해설

몫을 Q(x)Q ( x ), p(x)=ax+bp ( x ) = ax + b라 하면, 나머지 정리에 의하여 x10+3x3−2=(x2−x+1)Q(x)+ax+b⋯x ^{10} + 3 x ^{3} - 2 = ( x ^{2} - x + 1 ) Q ( x ) + ax + b \cdots(1) x2−x+1=0x ^{2} - x + 1 = 0의 한 허근을 ω\omega라 하면, x=ωx = \omega일 때 식 (1)은 ω10+3ω3−2=0⋅Q(ω)+aω+b\omega ^{10} + 3 \omega ^{3} - 2 = 0 \cdot Q ( \omega ) + a \omega + b=aω+b⋯= a \omega + b \cdots(2) ω3=−1,ω2−ω+1=0\omega ^{3} = - 1 , \omega ^{2} - \omega + 1 = 0이므로 ω10+3ω3−2=−ω+3⋅(−1)−2=−ω−5⋯\omega ^{10} + 3 \omega ^{3} - 2 = - \omega + 3 \cdot ( - 1 ) - 2 = - \omega - 5 \cdots(3) 식 (2)와 (3)으로부터 aω+b=−ω−5a \omega + b = - \omega - 5 ∴a=−1,b=−5\therefore a = - 1 , b = - 5 직선의 기울기와 yy절편이 모두 음이므로 2,3,42 , 3 , 4분면을 지난다.

태그

#나머지정리#허근 대입#일차함수의 그래프

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