고차방정식 근

[출제의도] 삼차방정식의 근을 이해하여 식의 값을 구한다. $( 1 + x ) ( 1 + x ^{2} ) ( 1 + x ^{4} ) = x ^{7} + x ^{6} + x ^{5} + x ^{4}$ 좌변을 전개하면 $1 + x + x ^{2} + x ^{3} + x ^{4} + x ^{5} + x ^{6} + x ^{7}$ 이므로 $1 + x + x ^{2} + x ^{3} + x ^{4} + x ^{5} + x ^{6} + x ^{7}$$= x ^{7} + x ^{6} + x ^{5} + x ^{4}$ $1 + x + x ^{2} + x ^{3} = 0$ $( 1 + x ) + x ^{2} ( 1 + x ) = 0$ $( 1 + x ) ( 1 + x ^{2} ) = 0$ $x = \mathit{-} 1$ 또는 $x ^{2} = \mathit{-} 1$ 따라서 주어진 방정식의 세 근은 $- 1$, $i$, $- i$이므로 $\alpha ^{4} + \beta ^{4} + \gamma ^{4}$$= ( - 1 ) ^{4} + i ^{4} + ( - i ) ^{4}$$= 1 + 1 + 1$$= 3$ [다른 풀이] 우변을 인수분해하면 $x ^{4} \left( x ^{3} + x ^{2} + x + 1 \right)$$= x ^{4} \left\{ x ^{2} \left( x + 1 \right) + x + 1 \right\}$$= x ^{4} \left( x ^{2} + 1 ^{} \right) \left( x + 1 ^{} \right)$ $( 1 + x ) ( 1 + x ^{2} ) ( 1 + x ^{4} ) = x ^{4} \left( 1 + x ^{} \right) \left( 1 + x ^{2} \right)$ $\left( 1 + x ^{} \right) \left( 1 + x ^{2} \right) \left( 1 + x ^{4} - x ^{4} \right) = 0$ $\left( 1 + x ^{} \right) \left( 1 + x ^{2} \right) = 0$ $x = \mathit{-} 1$ 또는 $x ^{2} = \mathit{-} 1$ 따라서 주어진 방정식의 세 근은 $- 1$, $i$, $- i$이므로 $\alpha ^{4} + \beta ^{4} + \gamma ^{4}$$= ( - 1 ) ^{4} + i ^{4} + ( - i ) ^{4}$ $= 1 + 1 + 1$$= 3$