미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

기울인 반구 물

문제

반지름의 길이가 11인 반구 모양의 그릇에 물이 가득 차 있었다. 그림과 같이 이 그릇을 θ\theta (0<θ<π2)\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)만큼 기울였을 때 수면의 높이를 H(θ)H ( \theta ), 수면의 넓이를 S(θ)S ( \theta ), 물의 부피를 V(θ)V ( \theta )라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. H(θ)=1−sin⁡θH ( \theta ) = 1 - \sin \theta ㄴ. S(θ)=πcos⁡2θS ( \theta ) = \pi \cos ^{2} \theta ㄷ. ddθV(θ)=−S(θ)cos⁡θ\displaystyle \frac{d}{d \theta} V ( \theta ) = - S ( \theta ) \cos \theta

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

그릇에 남은 물의 부피는 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1과 직선 x=sin⁡θx = \sin \theta로 둘러싸인 부분을 xx축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피와 같다. ㄱ. H(θ)=1−sin⁡θH ( \theta ) = 1 - \sin \theta (참) ㄴ. 수면의 반지름의 길이는 cos⁡θ\cos \theta이므로 S(θ)=πcos⁡2θS ( \theta ) = \pi \cos ^{2} \theta이다. (참) ㄷ. V(θ)=π∫sin⁡θ1(1−x2)dx\displaystyle V ( \theta ) = \pi \int _{\sin \theta} ^{1} {( 1 - x ^{2} )} dx이므로 ddθV(θ)=π(−cos⁡θ+sin⁡2θcos⁡θ)\displaystyle \frac{d}{d \theta} V ( \theta ) = \pi ( - \cos \theta + \sin ^{2} \theta \cos \theta ) =−πcos⁡3θ=−S(θ)cos⁡θ= - \pi \cos ^{3} \theta = - S ( \theta ) \cos \theta (참)

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