기울기로 대소 비교

[출제의도] 지수함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $($직선 $\mathrm{QO}$의 기울기$)$ $\displaystyle = \frac{b}{\log ( b + 1 )} = \frac{1}{\log ( b + 1 ) ^{\frac{1}{b}}}$$\cdots \cdots$㉠ $($직선 $\mathrm{PO}$의 기울기$)$ $\displaystyle = \frac{a}{\log ( a + 1 )} = \frac{1}{\log ( a + 1 ) ^{\frac{1}{a}}}$$\cdots \cdots$㉡ $($직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기$)$ $\displaystyle = \frac{b - a}{\log ( b + 1 ) - \log ( a + 1 )}$$\displaystyle = \frac{1}{\log \left( \frac{b + 1}{a + 1} \right) ^{\frac{1}{b - a}}}$ $\cdots \cdots$㉢ ㉠$>$㉡$>$㉢ 이므로 $\displaystyle \log \left( b + 1 \right) ^{\frac{1}{b}} < \log \left( a + 1 \right) ^{\frac{1}{a}} < \log \left( \frac{b + 1}{a + 1} \right) ^{\frac{1}{b - a}}$ $\displaystyle \left( b + 1 \right) ^{\frac{1}{b}} < \left( a + 1 \right) ^{\frac{1}{a}} < \left( \frac{b + 1}{a + 1} \right) ^{\frac{1}{b - a}}$ 따라서 $B < A < C$