기울기 합의 시그마

[출제의도] 직선의 기울기와 근과 계수의 관계를 이용하여 $\displaystyle \sum\limits _{} ^{}$의 값을 구한다. 곡선 $y = x ^{2}$과 직선 $y = n x - 2$의 두 교점을 각각 $\mathrm{A} ( \mathit{\alpha} , \alpha ^{2} )$, $\mathrm{B} ( \mathit{\beta} , \beta ^{2} )$이라 하면 $\displaystyle a _{n} = \frac{\alpha ^{2}}{\alpha} = \alpha$ $\displaystyle b _{n} = \frac{\beta ^{2}}{\beta} = \beta$ $a _{n} + b _{n} = \alpha + \beta$ 한편 $y = x ^{2}$과 $y = nx - 2$를 연립하면 $x ^{2} = nx - 2$ $x ^{2} - n x + 2 = 0$ 이차방정식의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = n$ ∴ $a _{n} + b _{n} = n$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 3} ^{20} \left( a _{n} + b _{n} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 3} ^{20} n$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{20} n - \left( 1 + 2 \right)$ $\displaystyle = \frac{20 \times 21}{2} - \left( 1 + 2 \right)$$= 207$ [다른 풀이] 곡선 $y = x ^{2}$과 직선 $y = n x - 2$의 두 교점을 각각 $\mathrm{A} ( \mathit{\alpha} , n \alpha - 2 )$, $\mathrm{B} ( \mathit{\beta} , n \beta - 2 )$라 하면 $\displaystyle a _{n} = \frac{n \alpha - 2}{\alpha} = n - \frac{2}{\alpha}$ $\displaystyle b _{n} = \frac{n \beta - 2}{\beta} = n - \frac{2}{\beta}$ $\displaystyle a _{n} + b _{n} = 2 n - \left( \frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} \right)$$\displaystyle = 2 n - \frac{2 \left( \alpha + \beta \right)}{\alpha \beta}$ 한편 $y = x ^{2}$과 $y = nx - 2$를 연립하면 $x ^{2} = nx - 2$ $x ^{2} - n x + 2 = 0$ 이차방정식의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = n$, $\alpha \beta = 2$ ∴ $\displaystyle a _{n} + b _{n} = 2 n - \frac{2 n}{2} = n$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 3} ^{20} \left( a _{n} + b _{n} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 3} ^{20} n$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{20} n - \left( 1 + 2 \right)$ $\displaystyle = \frac{20 \times 21}{2} - \left( 1 + 2 \right)$$= 207$ [참고] 두 함수 $f ( x )$, $g ( x )$의 그래프의 교점의 좌표는 $( \alpha , f ( \alpha ) )$ 또는 $( \alpha , g ( \alpha ) )$로 놓을 수 있다. 이때 구하고자 하는 값에 따라 적절히 점의 좌표를 선택하면 계산 과정이 간단해진다.