기울기 합의 시그마

[출제의도] 직선의 기울기와 근과 계수의 관계를 이용하여 $\displaystyle \sum\limits _{} ^{}$의 값을 구한다. 곡선 $y = x ^{2} + x$와 직선 $y = nx - 2$의 교점을 각각 $\mathrm{A} \left( \mathit{\alpha} , \alpha ^{2} + \alpha \right)$, $\mathrm{B} \left( \beta , \beta ^{2} + \beta \right)$ 라 하면 직선 $\mathrm{OA}$의 기울기는 $\displaystyle a _{n} = \frac{( \alpha ^{2} + \alpha ) - 0}{\alpha - 0} = \alpha + 1$ 이고, 직선 $\mathrm{OB}$의 기울기는 $\displaystyle b _{n} = \frac{( \beta ^{2} + \beta ) - 0}{\beta - 0} = \beta + 1$ ∴ $a _{n} + b _{n} = \alpha + \beta + 2$ 한편 $y = x ^{2} + x$와 $y = nx - 2$를 연립하면 $x ^{2} + x = nx - 2$ $x ^{2} - \left( n - 1 \right) x + 2 = 0$ 이 이차방정식의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = n - 1$ ∴ $a _{n} + b _{n} = n + 1$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 4} ^{20} \left( a _{n} + b _{n} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 4} ^{20} ( n + 1 )$$= 5 + 6 + 7 + \cdots + 21$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{21} n - ( 1 + 2 + 3 + 4 )$$\displaystyle = \frac{21 \times 22}{2} - 10$$= 221$ [다른 풀이] 곡선 $y = x ^{2} + x$와 직선 $y = nx - 2$의 교점을 각각 $\mathrm{A} ( \mathit{\alpha} , n \alpha - 2 )$, $\mathrm{B} ( \mathit{\beta} , n \beta - 2 )$ 라 하면 $\displaystyle a _{n} = \frac{n \alpha - 2}{\alpha} = n - \frac{2}{\alpha}$ $\displaystyle b _{n} = \frac{n \beta - 2}{\beta} = n - \frac{2}{\beta}$ $\displaystyle a _{n} + b _{n} = 2 n - \left( \frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} \right)$$\displaystyle = 2 n - \frac{2 \left( \alpha + \beta \right)}{\alpha \beta}$ 한편 $y = x ^{2} + x$와 $y = n x - 2$를 연립하면 $x ^{2} + x = n x - 2$ $x ^{2} - \left( n - 1 \right) x + 2 = 0$ 이 이차방정식의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = n - 1$, $\alpha \beta = 2$ $\displaystyle a _{n} + b _{n} = 2 n - \frac{2 \left( n - 1 \right)}{2}$$= n + 1$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{n = 4} ^{20} \left( a _{n} + b _{n} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 4} ^{20} ( n + 1 )$ $= 5 + 6 + 7 + \cdots + 21$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{21} n - ( 1 + 2 + 3 + 4 )$$\displaystyle = \frac{21 \times 22}{2} - 10$$= 221$ [참고] 두 함수 $f ( x )$, $g ( x )$의 그래프의 교점의 좌표는 $( \alpha , f ( \alpha ) )$ 또는 $( \alpha , g ( \alpha ) )$로 놓을 수 있다. 이때 구하고자 하는 값에 따라 적절히 점의 좌표를 선택하면 계산 과정이 간단해진다.