미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

기울기 함수의 적분

문제

양수 tt에 대하여 곡선 y=ln⁡xx\displaystyle y = \frac{\ln x}{x} 위의 한 점 P(t,ln⁡tt)\displaystyle {\mathrm{P}} \left( t , \frac{\ln t}{t} \right)와 점 A(0,1){\mathrm{A}} \left( 0 , 1 \right)을 지나는 직선의 기울기를 f(t)f \left( t \right)라 할 때, ∫1ef(t)dt\displaystyle \int _{1} ^{e} f \left( t \right) dt의 값은? [3점] ①−1e\displaystyle - \frac{1}{e}②−2e\displaystyle - \frac{2}{e}③−3e\displaystyle - \frac{3}{e}④−4e\displaystyle - \frac{4}{e}⑤−5e\displaystyle - \frac{5}{e}

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②

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해설

직선 AP{\mathrm{AP}}의 기울기 f(t)=ln⁡tt−1t−0=ln⁡t−tt2\displaystyle f \left( t \right) = \frac{\frac{\ln t}{t} - 1}{t - 0} = \frac{\ln t - t}{t ^{2}} ∫1ef(t)dt\displaystyle \int _{1} ^{e} f \left( t \right) dt=∫1eln⁡t−tt2dt=∫1e(ln⁡tt2−1t)dt\displaystyle = \int _{1} ^{e} \frac{\ln t - t}{t ^{2}} dt = \int _{1} ^{e} \left( \frac{\ln t}{t ^{2}} - \frac{1}{t} \right) dt =∫1eln⁡tt2dt−∫1e1tdt\displaystyle = \int _{1} ^{e} \frac{\ln t}{t ^{2}} dt - \int _{1} ^{e} \frac{1}{t} dt =[−ln⁡tt]1e+∫1e1t2dt−[ln⁡t]1e\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{\ln t}{t} \end{array} \right] _{1} ^{e} + \int _{1} ^{e} \frac{1}{t ^{2}} dt - \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \ln t \end{array} \right] _{1} ^{e} =−1e+[−1t]1e−1\displaystyle = - \frac{1}{e} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{t} \end{array} \right] _{1} ^{e} - 1 =−1e+(−1e+1)−1=−2e\displaystyle = - \frac{1}{e} + \left( - \frac{1}{e} + 1 \right) - 1 = - \frac{2}{e} 따라서 ∫1ef(t)dt=−2e\displaystyle \int _{1} ^{e} f \left( t \right) dt = - \frac{2}{e}

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#부분적분법#로그함수

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