미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

기울기 극한과 넓이비

문제

그림에서 점 C′,O′\mathrm{C}' , O'은 각각 선분 CB,OA\mathrm{CB} , OA 위에 있고 직선 AC′\mathrm{AC}' 과 직선 BO′\mathrm{BO}'의 기울기를 각각 1t2−1,11−t3\displaystyle \frac{1}{t ^{2} - 1} , \frac{1}{1 - t ^{3}}, 교점을 D\mathrm{D} 라 하자. 직선 AC′\mathrm{AC}' 의 기울기는 한없이 작아지고 직선 BO′\mathrm{BO}' 의 기울기는 한없이 커지도록 tt 가 변할 때, △BDC′\mathrm{\triangle} BDC' 의 넓이와 △ADO′\mathrm{\triangle} ADO' 의 넓이의 비는 a:ba : b 에 가까워진다. abab 의 값을 구하시오. (단, aa와 bb는 서로 소이다.) [4점]

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해설

직선 AC′\mathrm{AC}'의 기울기가 1t2−1\displaystyle \frac{1}{t ^{2} - 1}이므로 점 C′(t2,1){\mathrm{C}}' ( t ^{2} , 1 ) 직선 BO′\mathrm{BO}'의 기울기가 11−t3\displaystyle \frac{1}{1 - t ^{3}}이므로 점 O′(t3,0){\mathrm{O}}' ( t ^{3} , 0 ) BC′‾=1−t2,AO′‾=1−t3\displaystyle {\mathrm{\overline{BC'}}} = 1 - t ^{2} , {\mathrm{\overline{AO'}}} = 1 - t ^{3} 기울기의 변화는 tt가 11에 가까워지므로 lim⁡t→11−t31−t2=lim⁡t→11+t+t21+t=32\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1} {\frac{1 - t ^{3}}{1 - t ^{2}}} = \lim\limits _{t \rightarrow 1} {} \frac{1 + t + t ^{2}}{1 + t} = \frac{3}{2}…㉠ △C′BD\mathrm{\triangle} C' BD와 △AO′D\mathrm{\triangle} AO' D이 닮음삼각형이고 BC′‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC'}}의 대응변이 AO′‾\displaystyle \mathrm{\overline{AO'}}이므로 ㉠에 의하여 닮음비가 2:32 : 3 따라서 넓이의 비는 4:94 : 9 ∴ab=36\therefore ab = 36

태그

#극한#닮음

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