미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

기울기 최대 접선 넓이

문제

곡선 y=−x3+3x2+4y = \mathit{-} x ^{3} + 3 x ^{2} + 4에 접하는 직선 중에서 기울기가 최대인 직선을 ll이라 하자. 직선 ll과 xx축 및 yy축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②22③52\displaystyle \frac{5}{2}④33⑤72\displaystyle \frac{7}{2}

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①

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해설

y′=−3x2+6xy' = - 3 x ^{2} + 6 x=−3(x−1)2+3= - 3 ( x - 1 ) ^{2} + 3 이므로 x=1x = 1, y=6y = 6일 때 기울기는 3으로 최대이다. 따라서 직선 ll은 y=3(x−1)+6=3x+3y = 3 ( x - 1 ) + 6 = 3 x + 3 구하는 도형의 넓이는 S=12×3×1=32\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = \frac{3}{2}

태그

#접선의 방정식#넓이

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