길이가 일정한 선분과 최단 경로

실마리: 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 일정한 간격으로 함께 움직이므로, 점 $\mathrm{A}$를 그 간격만큼 평행이동하여 움직이는 점을 하나로 줄인다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( t , t )$라 하면 두 조건에서 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $( t + 2 , t + 2 )$이다. 즉, 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{P}$를 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 점이다. 점 $\mathrm{A} ( 1 , 6 )$을 같은 방향으로 평행이동한 점을 $\mathrm{A}'$이라 하면 $\mathrm{A}' ( 3 , 8 )$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' Q}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{A}' Q} + \overline{\mathrm{QB}} \geq \overline{\mathrm{A}' B}$ 점 $\mathrm{A}' ( 3 , 8 )$은 직선 $y = x$의 위쪽, 점 $\mathrm{B} ( 9 , 0 )$은 아래쪽에 있으므로 선분 $\mathrm{A}' B$는 직선 $y = x$와 만나고, 그 교점을 $\mathrm{Q}$로 잡으면 등호가 성립한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 9 - 3 ) ^{2} + ( 0 - 8 ) ^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10$ 따라서 최솟값은 $10$이다.