기함수와 정적분

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$가 조건 (가)에 의하여 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( - x \right) = - f \left( x \right)$이므로 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax$ ($a$는 상수) 라 하면 조건 (나)에서 $\displaystyle \int _{- 2} ^{2} {} x f \left( x \right) dx = \frac{144}{5}$이므로 $\displaystyle \int _{- 2} ^{2} {} x \left( x ^{3} + ax \right) dx$$\displaystyle = \int _{- 2} ^{2} {} \left( x ^{4} + ax ^{2} \right) dx$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{2} {} \left( x ^{4} + ax ^{2} \right) dx$ $\displaystyle = 2 \left[ \frac{1}{5} x ^{5} + \frac{a}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{2}$ $\displaystyle = 2 \left( {} \frac{32}{5} + \frac{8 a}{3} \right)$ $\displaystyle = \frac{192 + 80 a}{15}$ $\displaystyle \frac{192 + 80 a}{15} = \frac{144}{5}$에서 $a = 3$ $f \left( x \right) = x ^{3} + 3 x$이므로 $f \left( 3 \right) = 3 ^{3} + 3 \times 3 = 36$