미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

기함수·우함수 정적분

문제

두 다항함수 f(x)f ( x ), g(x)g ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 f(−x)=−f(x),g(−x)=g(x)f ( - x ) = \mathit{-} f ( x ) , g ( - x ) = g ( x ) 를 만족시킨다. 함수 h(x)=f(x)g(x)h ( x ) = f ( x ) g ( x )에 대하여 ∫−33(x+5)h′(x)dx=10\displaystyle \int _{-3} ^{3} {( x + 5 ) h' ( x )} dx = 10 일 때, h(3)h ( 3 )의 값은? [4점] ①11②22③33④44⑤55

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①

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해설

[출제의도] 조건을 만족시키는 다항함수에 대하여 정적분의 값을 구할 수 있는가? h(−x)h \left( - x \right)=f(−x)g(−x)= f \left( - x \right) g \left( - x \right)=−f(x)g(x)=−h(x)= \mathit{-} f \left( x \right) g \left( x \right) = \mathit{-} h \left( x \right) 이므로 다항함수 h(x)h \left( x \right)의 그래프는 원점에 대칭이고, h(0)=0h \left( 0 \right) = 0이다. h(x)=a2n+1x2n+1+a2n−1x2n−1+⋅⋅⋅+a1xh \left( x \right) = a _{2 n + 1} x ^{2 n + 1} + a _{2 n - 1} x ^{2 n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a _{1} x로 놓으면 h′(x)=(2n+1)a2n+1x2n+(2n−1)a2n−1x2n−2+⋅⋅⋅+a1h' \left( x \right) = \left( 2 n + 1 \right) a _{2 n + 1} x ^{2 n} + \left( 2 n - 1 \right) a _{2 n - 1} x ^{2 n - 2} + \cdot \cdot \cdot + a _{1} 이므로 h′(−x)=h′(x)h' \left( - x \right) = h' \left( x \right)를 만족시킨다. ∫−33(xh′(x)+5h′(x))dx\displaystyle \int _{- 3} ^{3} {} \left( xh' \left( x \right) + 5 h' \left( x \right) \right) dx =2∫035h′(x)dx\displaystyle = 2 \int _{0} ^{3} {5 h' \left( x \right) dx} =10[h(x)]03\displaystyle = 10 \left[ \begin{array}{l} h \left( x \right) \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{0} ^{3} =10(h(3)−h(0))= 10 \left( h \left( 3 \right) - h \left( 0 \right) \right) 10(h(3)−h(0))=1010 \left( h \left( 3 \right) - h \left( 0 \right) \right) = 10에서 h(3)=h(0)+1=0+1=1h \left( 3 \right) = h \left( 0 \right) + 1 = 0 + 1 = 1

태그

#정적분#기함수#우함수

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