기함수 삼차함수와 실근 개수

최고차항의 계수가 $1$이고 모든 실수 $x$에 대해 $f ( - x ) = - f ( x )$를 만족시키는 $f ( x )$의 그래프는 다음 두 가지 유형이 가능하다.

두 가지 유형 중 $| f ( x ) | = 2$의 서로 다른 실근이 $4$개가 가능한 것은 (ⅱ)의 유형이다. (그림 참조)

따라서, $f ( x )$의 극솟값은 $- 2$, 극댓값은 $2$이다. $f ( x ) = x ^{3} - bx$로 놓으면 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - b = 0$에서 $\displaystyle x = \pm \sqrt{\frac{b}{3}}$ $\displaystyle f \left( \sqrt{\frac{b}{3}} \right) = - 2$이므로 $\displaystyle \left( \sqrt{\frac{b}{3}} \right) ^{3} - b \times \sqrt{\frac{b}{3}} = - 2$ 정리하여 계산하면, $b = 3$ $\therefore f ( 3 ) = 3 ^{3} - 3 \times 3 = 18$