기함수 부분적분

$y = f ( x )$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 $f ( x ) \cos x$는 원점에 대하여 대칭이고 $x f ( x )$는 $y$축에 대하여 대칭이다. 따라서 $\displaystyle \int _{- \pi} ^{\pi} {( x + \cos x ) f ( x )} dx$$\displaystyle = 2 \int _{0} ^{\pi} x f ( x ) dx$이다. $\displaystyle \int _{0} ^{\pi} x ^{2} f' ( x ) dx =$$\displaystyle \left[ x ^{2} f ( x ) \right] _{0} ^{\pi} - 2 \int _{0} ^{\pi} x f ( x ) dx$ $\displaystyle = 0 - 2 \int _{0} ^{\pi} x f ( x ) dx$$= - 8 \pi$ 따라서 $\displaystyle 2 \int _{0} ^{\pi} {} xf ( x ) dx$$= 8 \pi$, $\therefore$ $k = 8$