미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

기침할 때 공기속력이 최대가 되는 기관 반지름

문제

기침할 때 기관의 반지름을 $r$ 라 하고 기관내의 공기압력을 $P$ 라 할 때, 기관을 통과하는 공기속력은 압력 $P$ 와 기관의 단면넓이 $\pi r ^{2}$ 의 곱에 정비례 한다. 최초기관의 반지름을 $r _{0}$ 라 하고 $P$ 는 $r _{0} - r$ 에 정비레할 때, 속력이 최대일 때 반지름은? ① $\displaystyle \frac{1}{3} r _{0}$ ② $\displaystyle \frac{2}{3} r _{0}$ ③ $r _{0}$ ④ $\displaystyle \frac{3}{4} r _{0}$ ⑤ $2 r _{0}$

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②

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해설

기관을 통과하는 공기속력을 $v$ 라 하면 $v = k \cdot P \cdot \pi r ^{2}$ (단, $k$ 는 비례상수, $k > 0$ ) $P = m ( r _{o} - r )$ (단, $m$ 는 비례상수, $m > 0$ ) 두 식을 정리하면 $v = km ( r _{o} - r ) \pi r ^{2}$ 양변을 $r$ 에 관하여 미분하면 $\displaystyle \frac{dv}{dr} = km \pi r ( 2 r _{o} - 3 r )$ 그러므로 공기속력 $v$ 는 $\displaystyle r = \frac{2}{3} r _{o}$ 에서 극대가 되며 최대가 된다.

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