공통수학2직선의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

그림의 선분과 만나는 기울기의 곱

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 $\mathrm{A} \mathit{\left( 1 , 3 \right)}$ , $\mathrm{B} \mathit{\left( 4 , 0 \right)}$ 이 있다. 직선 $y = kx - 1$ 이 선분 $\mathrm{AB}$ 와 만나도록 하는 실수 $k$ 의 최댓값을 $M$ , 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $Mm$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

직선 $y = kx - 1$ 은 $k$ 의 값에 관계없이 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( 0 , - 1 \right)}$ 을 지난다. 직선 $\mathrm{PA}$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{3 - ( - 1 )}{1 - 0} = 4$ 직선 $\mathrm{PB}$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{0 - ( - 1 )}{4 - 0} = \frac{1}{4}$ 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 는 모두 $y$ 축의 오른쪽에 있으므로 직선이 선분 $\mathrm{AB}$ 와 만나려면 $\displaystyle \frac{1}{4} \leq k \leq 4$ 즉 $M = 4$ , $\displaystyle m = \frac{1}{4}$ 따라서 $Mm = 1$

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