그릇 수면 상승 속도

그릇에 깊이가 $h \mathrm{cm}$가 되도록 물을 넣었을 때 물의 부피 $V$는 $\displaystyle V = \mathit{\int} _{0} ^{h} {} \pi ( \sqrt{9 + h ^{2}} ) ^{2} dh$$\displaystyle = \int _{0} ^{h} {} \pi ( 9 + h ^{2} ) dh$ $\displaystyle = \pi \left[ 9 h + \frac{1}{3} h ^{3} \right] _{0} ^{h}$$\displaystyle = \pi \left( 9 h + \frac{1}{3} h ^{3} \right)$ $\displaystyle V = \pi \left( 9 h + \frac{1}{3} h ^{3} \right)$ 따라서 $\displaystyle \frac{dV}{dt} = \pi ( 9 + h ^{2} ) \frac{dh}{dt}$ $\displaystyle \frac{dV}{dt} = 260 \pi$이고 $h = 2$이므로 $\displaystyle 260 \pi = \pi ( 9 + 4 ) \left[ \frac{dh}{dt} \right] _{h = 2}$ ∴ $\displaystyle \left[ \frac{dh}{dt} \right] _{h = 2} = \frac{260 \pi}{13 \pi} = 20 ( \mathrm{c} m$/초)