그래프와 역함수 순서쌍

[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 자연수의 순서쌍의 개수를 구한다. 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프는 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 함수 $y = f ^{- 1} ( x )$의 그래프는 아래 그림과 같다. $\displaystyle f ^{- 1} ( 1 ) = g ( 5 ) = \frac{1}{2}$ $f ^{- 1} ( 2 ) = g ( 4 ) = 1$ $f ^{- 1} ( 3 ) = g ( 3 ) = 3$ $f ^{- 1} ( 4 ) = g ( 2 ) = 5$ $\displaystyle f ^{- 1} ( 5 ) = g ( 1 ) = \frac{11}{2}$ 이므로 등식 $f ^{- 1} ( a ) = g ( b )$를 만족시키는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍은 $\left( 1 , 5 \right)$, $\left( 2 , 4 \right)$, $\left( 3 , 3 \right)$, $\left( 4 , 2 \right)$, $\left( 5 , 1 \right)$ 의 $5$개다.

[다른 풀이] 등식 $f ^{- 1} \left( a \right) = g \left( b \right)$에서 $f \left( g \left( b \right) \right) = a$이고 $a$가 자연수이므로 가능한 $g \left( b \right)$의 값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$, $1$, $3$, $5$, $\displaystyle \frac{11}{2}$, $6$이다. $\displaystyle g \left( b \right) = \frac{1}{2}$에서 $b = 5$이고 $f \left( g \left( b \right) \right) = 1$ $g \left( b \right) = 1$에서 $b = 4$이고 $f \left( g \left( b \right) \right) = 2$ $g \left( b \right) = 3$에서 $b = 3$이고 $f \left( g \left( b \right) \right) = 3$ $g \left( b \right) = 5$에서 $b = 2$이고 $f \left( g \left( b \right) \right) = 4$ $\displaystyle g \left( b \right) = \frac{11}{2}$에서 $b = 1$이고 $f \left( g \left( b \right) \right) = 5$ $g \left( b \right) = 6$에서 $b = 0$이고 $f \left( g \left( b \right) \right) = 6$ 이므로 등식 $f \left( g \left( b \right) \right) = a$를 만족시키는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍은 $\left( 1 , 5 \right)$, $\left( 2 , 4 \right)$, $\left( 3 , 3 \right)$, $\left( 4 , 2 \right)$, $\left( 5 , 1 \right)$ 의 $5$개다.