급수와 수열 수렴 보기

ㄱ. 두 무한급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}$, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n}$이 모두 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = 0$이다. (거짓) ㄴ. 두 무한급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} )$, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} ( a _{n} - b _{n} )$이 모두 수렴하므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( a _{n} + b _{n} ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( a _{n} - b _{n} ) = 0$이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left\{ ( a _{n} + b _{n} ) + ( a _{n} - b _{n} ) \right\} = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} b _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left\{ ( a _{n} + b _{n} ) - a _{n} \right\} = 0$ 따라서 두 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$과 $\left\{ b _{n} \right\}$은 모두 수렴한다. (참) ㄷ. (반례) $a _{n} = ( - 1 ) ^{n}$, $b _{n} = ( - 1 ) ^{n + 1}$이면 $\left| a _{n} + b _{n} \right| = 0$, $\left| a _{n} - b _{n} \right| = 2$이므로 두 수열 $\left\{ \left| a _{n} + b _{n} \right| \right\}$, $\left\{ \left| a _{n} - b _{n} \right| \right\}$이 모두 수렴하지만 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$과 $\left\{ b _{n} \right\}$은 수렴하지 않는다. (거짓)