미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수와 정적분

문제

함수 f(x)=exf ( x ) = e ^{x}이 있다. 22이상인 자연수 nn에 대하여 닫힌 구간 [1,2][ 1 , 2 ]를 nn등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 1=x0,x1,x2,⋯ ,xn−1,xn=21 = x _{0} , x _{1} , x _{2} , \cdots , x _{n - 1} , x _{n} = 2 라 하자. 세 점 (0,0)( 0 , 0 ), (xk,0)\left( x _{k} , 0 \right), (xk,f(xk))\left( x _{k} , f \left( x _{k} \right) \right)를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 Ak(k=1,2,⋯ ,n)A _{k} ( k = 1 , 2 , \cdots , n )이라 할 때, lim⁡n→∞1n∑k=1nAk\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} A _{k}의 값은? [4점]

①12e2−e\displaystyle \frac{1}{2} e ^{2} - e②12(e2−e)\displaystyle \frac{1}{2} \left( e ^{2} - e \right)③12e2\displaystyle \frac{1}{2} e ^{2}④e2−ee ^{2} - e⑤e2−12e\displaystyle e ^{2} - \frac{1}{2} e

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③

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해설

xk=1+kn\displaystyle x _{k} = 1 + \frac{k}{n} 따라서, 넓이 Ak=12(1+kn)f(1+kn)\displaystyle A _{k} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{k}{n} \right) f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) lim⁡n→∞1n∑k=1nAk=lim⁡n→∞1n∑k=1n12(1+kn)f(1+kn)\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} A _{k} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{k}{n} \right) f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) =12lim⁡n→∞1n∑k=1n(1+kn)f(1+kn)\displaystyle = \frac{1}{2} \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left( 1 + \frac{k}{n} \right) f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) =12∫12xf(x)dx\displaystyle = \frac{1}{2} \int _{1} ^{2} x f ( x ) dx =12∫12xexdx\displaystyle = \frac{1}{2} \int _{1} ^{2} x e ^{x} dx =12{[xex]12−∫12exdx}=12e2\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ [ x e ^{x} ] _{1} ^{2} - \int _{1} ^{2} e ^{x} dx \right\} = \frac{1}{2} e ^{2}

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#구분구적법#부분적분

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