미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

급수와 정적분

문제

함수 f(x)=ax+2(a>0)f ( x ) = ax + 2 ( a > 0 )가 극한값 lim⁡n→∞∑k=1nf(kn)1n+lim⁡n→∞∑k=1n{f(kn)−f(k−1n)}k−1n=5\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} f \left( \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} + \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left\{ f \left( \frac{k}{n} \right) - f \left( \frac{k - 1}{n} \right) \right\} \frac{k - 1}{n} = 5 을 만족시킬 때, 10a10 a의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 구분구적법을 이해하고 정적분을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다. lim⁡n→∞∑k=1n(akn+2)1n+lim⁡n→∞∑k=1n{(akn+2)−(ak−1n+2)}k−1n\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left( a \frac{k}{n} + 2 \right) \frac{1}{n} + \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left\{ \left( a \frac{k}{n} + 2 \right) - \left( a \frac{k - 1}{n} + 2 \right) \right\} \frac{k - 1}{n} =lim⁡n→∞∑k=1n(akn+2)1n+lim⁡n→∞∑k=1n(an)k−1n\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left( a \frac{k}{n} + 2 \right) \frac{1}{n} + \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \left( \frac{a}{n} \right) \frac{k - 1}{n} lim⁡n→∞kn=xk\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{k}{n} = x _{k}로 놓으면 a=0a = 0, b=1b = 1, Δx=1n\displaystyle \Delta x = \frac{1}{n} 준식=∫01(ax+2)dx+∫01axdx\displaystyle = \int _{0} ^{1} ( ax + 2 ) dx + \int _{0} ^{1} ax dx =∫01(2ax+2)dx=[ax2+2x]01=a+2=5\displaystyle = \int _{0} ^{1} ( 2 ax + 2 ) dx = \left[ ax ^{2} + 2 x \right] _{0} ^{1} = a + 2 = 5 a=3a = 3, 따라서 10a=3010 a = 30

태그

#구분구적법#정적분

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