미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수와 일반항의 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 ∑n=1∞(3an−14)=4\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 3 a _{n} - \frac{1}{4} \right) = 4일 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은? [3점] ①112\displaystyle \frac{1}{12}②16\displaystyle \frac{1}{6}③14\displaystyle \frac{1}{4}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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①

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해설

[출제의도] 급수와 일반항의 관계 이해하기 ∑n=1∞(3an−14)=4\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( 3 a _{n} - \frac{1}{4} \right) = 4이므로 lim⁡n→∞(3an−14)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 3 a _{n} - \frac{1}{4} \right) = 0} 3an−14=bn\displaystyle 3 a _{n} - \frac{1}{4} = b _{n}이라 하면 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n} = 0} an=13bn+112\displaystyle a _{n} = \frac{1}{3} b _{n} + \frac{1}{12}이므로 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(13bn+112)=112\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{1}{3} b _{n} + \frac{1}{12} \right) = \frac{1}{12}}} 따라서 lim⁡n→∞an=112\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = \frac{1}{12}}

태그

#급수의 수렴#일반항

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