급수로 정의된 함수 연속

(ⅰ) $x \ne 0$일 때 $\displaystyle 0 < \frac{1}{1 + x ^{4}} < 1$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{x ^{m}}{1 - \frac{1}{1 + x ^{4}}} = x ^{m - 4} \left( 1 + x ^{4} \right)$ $\cdots \cdots$ ㉠ (ⅱ) $x = 0$일 때 $f \left( x \right) = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ $x = 0$에서 연속이려면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} f \left( x \right) = f \left( 0 \right)$이어야 하므로 ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} x ^{m - 4} \left( 1 + x ^{4} \right) = f \left( 0 \right) = 0$ 여기서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \left( 1 + x ^{4} \right) = 1$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} x ^{m - 4} = 0$이어야 한다. 지수인 $m - 4$의 값이 $0$이면 극한값이 $1$이고 $m - 4$의 값이 음수이면 극한값이 무한대이므로 $m - 4 \geq 1$, 즉 $m \geq 5$ 따라서, 함수 $f \left( x \right)$가 $x = 0$에서 연속이되기 위한 자연수 $m$의 최솟값은 $5$이다.