미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

급수를 치환적분으로

문제

lim⁡n→∞∑k=1n14n2−(n+k)2\displaystyle \left. \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{\sqrt{4 n ^{2} - \left( n + k \right) ^{2}}} \right.의 값은? [4점] ①π12\displaystyle \frac{\pi}{12}②π6\displaystyle \frac{\pi}{6}③π4\displaystyle \frac{\pi}{4}④π3\displaystyle \frac{\pi}{3}⑤π2\displaystyle \frac{\pi}{2}

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④

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해설

[출제의도] 무한급수와 정적분의 관계 이해하기 lim⁡n→∞∑k=1n14n2−(n+k)2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{\sqrt{4 n ^{2} - \left( n + k \right) ^{2}}}} =∫1214−x2dx=∫π6π2dθ=π3\displaystyle = \int _{1} ^{2} {\frac{1}{\sqrt{4 - x ^{2}}} dx} = \int _{\frac{\pi}{6}} ^{\frac{\pi}{2}} {d \theta = \frac{\pi}{3}}

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#구분구적법#치환적분

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