대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수관 물 속력의 로그 모델

문제

단면의 반지름의 길이가 R(R<1)R ( R < 1 )인 원기둥 모양의 어느 급수관에 물이 가득 차 흐르고 있다. 이 급수관의 단면의 중심에서의 물의 속력을 vc,v _{c} , 급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로 x(0<x≤R)x ( 0 < x \leq R )만큼 떨어진 지점에서의 물의 속력을 vv라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. vcv=1−klog⁡xR\displaystyle \frac{v _{c}}{v} = 1 - k \log \frac{x}{R} (단, kk는 양의 상수이고, 길이의 단위는 mm, 속력의 단위는 m/초m / \text{초}이다.) R<1R < 1인 이 급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로 R2723\displaystyle R ^{\frac{27}{23}}만큼 떨어진 지점에서의 물의 속력이 중심에서의 물의 속력의 12\displaystyle \frac{1}{2}일 때, 급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로 RaR ^{a}만큼 떨어진 지점에서의 물의 속력이 중심에서의 물의 속력의 13\displaystyle \frac{1}{3}이다. 23a23 a의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 상용로그의 성질을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가? x=R2723\displaystyle x = R ^{\frac{27}{23}}일 때의 물의 속력을 v1v _{1}이라 하면 v1=12vc\displaystyle v _{1} = \frac{1}{2} v _{c}이므로 vcv1=1−klog⁡R2723R=2\displaystyle \frac{v _{c}}{v _{1}} = 1 - k \log \frac{R ^{\frac{27}{23}}}{R} = 2 klog⁡R423=−1,423klog⁡R=−1∴klog⁡R=−234\displaystyle k \log R ^{\frac{4}{23}} = - 1 , \frac{4}{23} k \log R = - 1 \therefore k \log R = - \frac{23}{4} ⋯㉠ x=Rax = R ^{a}일 때의 물의 속력을 v2v _{2}라 하면 v2=13vc\displaystyle v _{2} = \frac{1}{3} v _{c}이므로 vcv2=1−klog⁡RaR=3\displaystyle \frac{v _{c}}{v _{2}} = 1 - k \log \frac{R ^{a}}{R} = 3 klog⁡Ra−1=−2,(a−1)klog⁡R=−2k \log R ^{a - 1} = - 2 , ( a - 1 ) k \log R = - 2 ⋯㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 (a−1)×(−234)=−2,a−1=823∴a=3123\displaystyle ( a - 1 ) \times ( - \frac{23}{4} ) = - 2 , a - 1 = \frac{8}{23} \therefore a = \frac{31}{23} ∴23a=31\therefore 23 a = 31

태그

#로그의 활용#로그의 성질

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