미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

급수 수렴과 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 무한급수 ∑n=1∞(an−2nn+1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{2 n}{n + 1} \right)이 수렴할 때, lim⁡n→∞(2an2+3an−1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 a _{n} ^{2} + 3 a _{n} - 1 \right)}의 값은? [3점] ①1111②1313③1515④1717⑤1919

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②

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해설

[출제의도] 무한급수의 수렴과 수열의 극한 이해하기 ∑n=1∞(an−2nn+1)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} - \frac{2 n}{n + 1} \right)이 수렴하므로 lim⁡n→∞(an−2nn+1)=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( a _{n} - \frac{2 n}{n + 1} \right) = 0} ∴\thereforelim⁡n→∞an=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = 2} 따라서 lim⁡n→∞(2an2+3an−1)=13\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 a _{n} ^{2} + 3 a _{n} - 1 \right) = 13}

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#급수의 수렴#극한

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