급수 함수 연속

$x = 0$일 때, $f ( x ) = 0$ $x \ne 0$일 때, $\displaystyle 0 < \frac{9}{9 + x ^{2p}} < 1$이므로 $f ( x )$$\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{9 ^{n} x ^{18}}{( 9 + x ^{2p} ) ^{n}}$$\displaystyle = x ^{18} \times \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \frac{9}{9 + x ^{2p}} \right) ^{n}$ $\displaystyle = x ^{18} \times \frac{\frac{9}{9 + x ^{2p}}}{1 - \frac{9}{9 + x ^{2p}}}$$\displaystyle = x ^{18} \times \frac{9}{x ^{2p}}$$= 9 x ^{2(9-p)}$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} f ( x ) = 0$이려면 $9 - p > 0$ 즉, $p < 9$이어야 한다. 따라서 자연수 $p$는 $1$, $2$, ⋯ , $8$의 총 $8$개다.