근의 역수의 합

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구한다. 이차방정식 $x ^{2} - 3 x + 1 = 0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이므로 $\alpha + \beta = 3$, $\alpha \beta = 1$ 따라서 $\displaystyle \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$$= {3}$ [다른 풀이] $x \ne 0$이므로 방정식 $x ^{2} - 3 x + 1 = 0$의 양변을 $x ^{2}$으로 나누면 $\displaystyle 1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = 0$ 이다. $\displaystyle \frac{1}{x} = t$로 치환하면 $1 - 3 t + t ^{2} = 0$ $t ^{2} - 3 t + 1 = 0 \cdots$ ㉠ $\displaystyle \frac{1}{\alpha}$, $\displaystyle \frac{1}{\beta}$은 ㉠의 근이 된다. 따라서 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 3$