공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근의 조건으로 이차함수

문제

이차함수 f(x)f ( x )에 대하여 xx에 대한 방정식 f(x)+x−1=0f ( x ) + x - 1 = 0 의 두 근을 α\alpha, β\beta라 하자. α+β=1\alpha + \beta = 1, αβ=−3\alpha \beta = - 3이고 f(1)=−6f ( 1 ) = - 6 일 때, f(3)f ( 3 )의 값은? [4점] ①00②22③44④66⑤88

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③

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해설

[출제의도] 근과 계수와의 관계를 이용하여 이차함수 추론하기 f(x)+x−1=0f ( x ) + x - 1 = 0의 두 근이 α,β\alpha , \beta이고 α+β=1\alpha + \beta = 1, αβ=−3\alpha \beta = - 3 이므로 f(x)+x−1=k(x2−x−3)⋯㉠f ( x ) + x - 1 = k ( x ^{2} - x - 3 ) \cdots \text{㉠} 이다. 또한 f(1)=−6f ( 1 ) = - 6이므로 x=1x = 1을 ㉠\text{㉠}에 대입하면 f(1)+1−1=k(12−1−3)f ( 1 ) + 1 - 1 = k ( 1 ^{2} - 1 - 3 ) −6+1−1=k(12−1−3)- 6 + 1 - 1 = k ( 1 ^{2} - 1 - 3 ) −6=−3k- 6 = - 3 k 이다. 그러므로 k=2k = 2이다. ㉠\text{㉠}에 대입하여 정리하면 f(x)+x−1=2(x2−x−3)f ( x ) + x - 1 = 2 ( x ^{2} - x - 3 ) f(x)=2x2−2x−6−x+1f ( x ) = 2 x ^{2} - 2 x - 6 - x + 1 f(x)=2x2−3x−5f ( x ) = 2 x ^{2} - 3 x - 5 이다. 따라서 f(3)=4f ( 3 ) = 4이다. [다른 풀이] f(x)=ax2+bx+cf ( x ) = ax ^{2} + bx + c라 두자. f(x)+x−1=ax2+(b+1)x+(c−1)=0f ( x ) + x - 1 = ax ^{2} + \left( b + 1 \right) x + ( c - 1 ) = 0의 두 근이 α,β\alpha , \beta이다. 근과 계수와의 관계에 의해 α+β=−b+1a=1\displaystyle \alpha + \beta = - \frac{b + 1}{a} = 1, b=−a−1⋯㉠b = - a - 1 \cdots \text{㉠} αβ=c−1a=−3\displaystyle \alpha \beta = \frac{c - 1}{a} = - 3, c=−3a+1⋯㉡c = - 3 a + 1 \cdots \text{㉡} 이고, f(1)=−6f ( 1 ) = - 6이므로 a+b+c=−6⋯㉢a + b + c = - 6 \cdots \text{㉢} 이다. ㉠,㉡,㉢\text{㉠} , \text{㉡} , \text{㉢}을 연립하여 정리하면 a=2a = 2, b=−3b = - 3, c=−5c = - 5 이므로 f(x)=2x2−3x−5f ( x ) = 2 x ^{2} - 3 x - 5이다. 따라서 f(3)=4f ( 3 ) = 4이다.

태그

#근과 계수의 관계#이차함수 결정

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