미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근의 곱과 급수

문제

자연수 nn에 대하여 xx에 대한 이차방정식 x2−2nx+n2−1=0x ^{2} - 2 nx + n ^{2} - 1 = 0 의 두 근의 곱을 ana _{n}이라 할 때, ∑n=2∞2an\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} \frac{2}{a _{n}}의 값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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③

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해설

[출제의도] 급수 이해하기 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 an=n2−1a _{n} = n ^{2} - 1이다. 따라서 ∑n=2∞2an=lim⁡n→∞∑k=2n2ak\displaystyle \sum\limits _{n = 2} ^{\infty} \frac{2}{a _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 2} ^{n}} \frac{2}{a _{k}} =lim⁡n→∞∑k=2n2(k−1)(k+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 2} ^{n}} \frac{2}{\left( k - 1 \right) \left( k + 1 \right)} =lim⁡n→∞∑k=2n(1k−1−1k+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 2} ^{n} \left( \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k + 1} \right)} =lim⁡n→∞{(11−13)+(12−14)+(13−15)+\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \right.} ⋯+(1n−2−1n)+(1n−1−1n+1)}\displaystyle \left. \cdots + \left( \frac{1}{n - 2} - \frac{1}{n} \right) + \left( \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1} \right) \right\} =lim⁡n→∞{11+12−1n−1n+1}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right\}} =32\displaystyle = \frac{3}{2} 이다.

태그

#급수#부분분수#근과 계수의 관계

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