공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근의 최대정수 범위

문제

방정식 x2−4x+k+1=0x ^{2} - 4 x + k + 1 = 0의 한 실근을 mm이라 할 때, [m]=3[ m ] = 3을 성립시키는 kk의 범위가 α<k≤β\alpha < k \leq \beta이다. α\alpha와 β\beta의 곱은? (단,[x][ x ]는 xx를 넘지 않는 최대 정수이다.) [4점] ①−3- 3②−2- 2③−1- 1④00⑤11

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②

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해설

[출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 이해하고 문제를 해결하기 [m]=3\left[ m \right] = 3 이면 3≤m<43 \leq m < 4이다. 이때 f(x)=x2−4xf ( x ) = x ^{2} - 4 x+k+1+ k + 1이라 하면 f(x)f ( x )는 3≤x<43 \leq x < 4 범위에서 하나의 실근을 가져야 하므로 다음 그림에서와 같이

f(3)=9−12+k+1≤0f ( 3 ) = 9 - 12 + k + 1 \leq 0에서 k≤2⋯㉠k \leq 2 \cdots \text{㉠} f(4)=16−16+k+1>0f ( 4 ) = 16 - 16 + k + 1 > 0에서 k>−1⋯㉡k > - 1 \cdots \text{㉡}이어야 한다. ∴ ㉠, ㉡의 공통범위는 −1<k≤2⋯㉢- 1 < k \leq 2 \cdots \text{㉢} 한편, 방정식 x2−4x+k+1=0x ^{2} - 4 x + k + 1 = 0이 실근을 가져야 하므로 D4=(−2)2−(k+1)≥0\displaystyle \frac{D}{4} = ( - 2 ) ^{2} - ( k + 1 ) \geq 0에서 k≤3⋯㉣k \leq 3 \cdots \text{㉣} 따라서 ㉢과 ㉣의 공통범위를 구하면 −1<k≤2- 1 < k \leq 2 ∴ α=−1,β=2\alpha = - 1 , \beta = 2 이므로 αβ=−2\alpha \beta = - 2

태그

#근의 분리#가우스 기호

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