공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근이 이동된 이차방정식의 최솟값

문제

xx에 대한 이차방정식 f(x)=0f ( x ) = 0의 두 근 α,\alpha , β\beta가 α+β=αβ\alpha + \beta = \alpha \beta를 만족한다고 하자. 이차방정식 f(x−1)=0f ( x - 1 ) = 0의 두 근을 γ,\gamma , δ\delta라 할 때, γ2+δ2\gamma ^{2} + \delta ^{2}의 최솟값은? [3점] ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

α+β=αβ=k\alpha + \beta = \alpha \beta = k라 하자. 그러면 f(x)=x2−kx+kf ( x ) = x ^{2} - kx + k이며 f(x−1)=(x−1)2−k(x−1)+k=x2−(k+2)x+2k+1f ( x - 1 ) = ( x - 1 ) ^{2} - k ( x - 1 ) + k = x ^{2} - ( k + 2 ) x + 2 k + 1이므로 f(x−1)=0f ( x - 1 ) = 0의 두 근 γ,\gamma , δ\delta에 대하여 γ2+δ2=(k+2)2−4k−2=k2+2\gamma ^{2} + \delta ^{2} = ( k + 2 ) ^{2} - 4 k - 2 = k ^{2} + 2 따라서 최솟값은 22이다. (사실 kk가 실수조건이 있어야 한다. 하지만 보통의 경우는 실수계수 방정식을 말하므로 실수조건이 있다고 생각해야한다.)

태그

#근과 계수의 관계#이차방정식의 평행이동

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