근호 실수 조건

[출제의도] 절대부등식을 이용하여 무리식이 실수가 되는 조건을 구한다. 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle \sqrt{kx ^{2} - kx + 3}$이 실수가 되기 위해서는 $kx ^{2} - kx + 3 \geq 0$을 만족해야 한다. $( i )$ $k = 0$일 때, $3 \geq 0$이므로 성립한다. $\mathrm{(} ii )$ $k \ne 0$일 때, $k > 0$이고 $D \leq 0$ $D = k ^{2} - 12 k = k ( k - 12 ) \leq 0$ ∴ $0 < k \leq 12$ $( i )$, $\mathrm{(} ii )$에서 $0 \leq k \leq 12$이므로 정수 $k$의 개수는 $13$이다.