공통수학1연립일차부등식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근호 5의 소수부분을 이용한 절댓값 식의 값

문제

5\displaystyle \sqrt{5}의 소수부분을 α\alpha라 할 때, (α−14)2+(α−15)2\displaystyle \sqrt{\left( \alpha - \frac{1}{4} \right) ^{2}} + \sqrt{\left( \alpha - \frac{1}{5} \right) ^{2}}의 값은?

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120\displaystyle \frac{1}{20}

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해설

5\displaystyle \sqrt{5}의 정수부분이 22이므로 5=2+α\displaystyle \sqrt{5} = 2 + \alpha, α=5−2\displaystyle \alpha = \sqrt{5} - 2 한편, 4α−14 \alpha - 1과 5α−15 \alpha - 1의 부호를 조사하면 4α−1=4(5−2)−1=45−9=80−81<0\displaystyle 4 \alpha - 1 = 4 ( \sqrt{5} - 2 ) - 1 = 4 \sqrt{5} - 9 = \sqrt{80} - \sqrt{81} < 0 5α−1=5(5−2)−1=55−11=125−121>0\displaystyle 5 \alpha - 1 = 5 ( \sqrt{5} - 2 ) - 1 = 5 \sqrt{5} - 11 = \sqrt{125} - \sqrt{121} > 0 그러므로 α−14<0\displaystyle \alpha - \frac{1}{4} < 0, α−15>0\displaystyle \alpha - \frac{1}{5} > 0 따라서, 주어진 식은 (α−14)2+(α−15)2=−(α−14)+(α−15)=120\displaystyle \sqrt{\left( \alpha - \frac{1}{4} \right) ^{2}} + \sqrt{\left( \alpha - \frac{1}{5} \right) ^{2}} = - \left( \alpha - \frac{1}{4} \right) + \left( \alpha - \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{20}

태그

#무리수의 소수부분#절댓값#부호 판정

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