대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근과 시그마 계산

문제

nn이 자연수일 때, xx에 대한 이차방정식 x2−5nx+4n2=0x ^{2} - 5 nx + 4 n ^{2} = 0 의 두 근을 αn\alpha _{n}, βn\beta _{n}이라 하자. ∑n=17(1−αn)(1−βn)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} \left( {} ^{} 1 - \alpha _{n} \right) \left( {} ^{} 1 - \beta _{n} \right)의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] ∑\displaystyle \sum\limits _{} ^{}의 성질을 이해하여 수열의 합을 구한다. x2−5nx+4n2=(x−n)(x−4n)=0x ^{2} - 5 nx + 4 n ^{2} = \left( x - n \right) \left( x - 4 n \right) = 0에서 x=nx = n 또는 x=4nx = 4 n ∑n=17(1−αn)(1−βn)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{7} ( 1 - \alpha _{n} ) ( 1 - \beta _{n} )=∑n=17(1−n)(1−4n)\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{7} ( 1 - n ) ( 1 - 4 n ) =∑n=17(1−5n+4n2)\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{7} ( 1 - 5 n + 4 n ^{2} )=7−5×7×82+4×7×8×156\displaystyle = 7 - 5 \times \frac{7 \times 8}{2} + 4 \times \frac{7 \times 8 \times 15}{6}=427= 427

태그

#시그마#이차방정식

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