대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근과 계수와 로그

문제

이차방정식 x2−8x+1=0x ^{2} - 8 x + 1 = 0의 두 근을 α\alpha, β\beta 라 하자. log⁡2(α+4β)+log⁡2(β+4α)=k\displaystyle \log _{2} \left( \alpha + \frac{4}{\beta} \right) + \log _{2} \left( \beta + \frac{4}{\alpha} \right) = k일 때, 2k2 ^{k}의 값을 구하시오.[3점]

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해설

[출제의도] 근과 계수와의 관계와 로그의 성질을 이용하여 식의 값 구하기 두 근을 α\alpha, β\beta라 하면 αβ=1\alpha \beta = 1이고, log⁡2(α+4β)+log⁡2(β+4α)\displaystyle \log _{2} \left( \alpha + \frac{4}{\beta} \right) + \log _{2} \left( \beta + \frac{4}{\alpha} \right) =log⁡2(α+4β)(β+4α)=log⁡2(αβ+4+4+16αβ)\displaystyle = \log _{2} \left( \alpha + \frac{4}{\beta} \right) \left( \beta + \frac{4}{\alpha} \right) = \log _{2} \left( \alpha \beta + 4 + 4 + \frac{16}{\alpha \beta} \right) =log⁡225=k= \log _{2} 25 = k ∴2k=25\therefore 2 ^{k} = 25

태그

#근과 계수의 관계

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