대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근과 계수와 지수·로그

문제

이차방정식 $x ^{2} - 4 x + 2 = 0$ 의 두 근을 $\alpha$ , $\beta$ 라 할 때, $2 ^{\alpha} \cdot 2 ^{\beta} + \log _{2} \alpha + \log _{2} \beta$ 의 값은? [3점] ① $17$ ② $18$ ③ $19$ ④ $20$ ⑤ $21$

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①

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계, 지수법칙, 로그의 성질에 관한 이해력을 측정한다. 이차방정식 $x ^{2} - 4 x + 2 = 0$ 에서 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 4 , \alpha \beta = 2$ $\therefore 2 ^{\alpha} \cdot 2 ^{\beta} + ( \log _{2} \alpha + \log _{2} \beta ) = 2 ^{\alpha + \beta} + \log _{2} \alpha \beta$ $= 2 ^{4} + \log _{2} 2$ $= 16 + 1$ $= 17$

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