근과 계수와 부분분수 합

[출제의도] $\displaystyle \sum\limits$의 뜻을 알고 이를 활용하기 이차방정식 $x ^{2} - 33 x + n \left( n + 1 \right) = 0$의 두 근이 $\alpha _{n} , \beta _{n}$이므로 근과 계수와의 관계로부터 $\alpha _{n} + \beta _{n} = 33 , \alpha _{n} \beta _{n} = n ( n + 1 )$이다. 따라서, $\displaystyle \frac{1}{\alpha _{n}} + \frac{1}{\beta _{n}} = \frac{\alpha _{n} + \beta _{n}}{\alpha _{n} \beta _{n}} = \frac{33}{n ( n + 1 )}$ $\displaystyle = 33 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{10} \left( \frac{1}{\alpha _{n}} + \frac{1}{\beta _{n}} \right) = 33 \left\{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) \right\}$ $\displaystyle = 33 \left( 1 - \frac{1}{11} \right) = 30$이다.