공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근과 계수의 관계

문제

이차방정식 x2+x−1=0x ^{2} + x - 1 = 0의 서로 다른 두 근을 α\alpha, β\beta라 하자. 다항식 P(x)=2x2−3xP \left( x \right) = 2 x ^{2} - 3 x에 대하여 βP(α)+αP(β)\beta P \left( \alpha \right) + \alpha P \left( \beta \right)의 값은? [4점] ①55②66③77④88⑤99

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 문제 해결하기 근과 계수의 관계에 의해 α+β=−1\alpha + \beta = \mathit{-} 1, αβ=−1\alpha \beta = \mathit{-} 1이다. 따라서 βP(α)+αP(β)\beta P \left( \alpha \right) + \alpha P \left( \beta \right) =β(2α2−3α)+α(2β2−3β)= \beta {\left( 2 \alpha ^{2} - 3 \alpha {) + \alpha {\left( 2 \beta ^{2} - 3 \beta {)} \right.}} \right.} =2αβ(α+β)−6αβ= 2 \alpha \beta {\left( \alpha + \beta {) - 6 \alpha \beta} \right.} =2×(−1)×(−1)−6×(−1)= 2 \times \left( - 1 \right) \times \left( - 1 \right) - 6 \times \left( - 1 \right)=8= 8이다.

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#근과 계수의 관계

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