미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근과 계수로 본 수열 극한

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 이차방정식 anx2+2an+1x+an+2=0a _{n} x ^{2} + 2 a _{n + 1} x + a _{n+2} = 0의 두 근이 −1- 1, bnb _{n}일 때, lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}}의 값은? [3점] ①−2- 2②−3\displaystyle - \sqrt{3}③−1- 1④3\displaystyle \sqrt{3}⑤22

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③

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해설

[출제의도] 등차수열의 일반항을 이용하여 극한값을 구한다. x=−1x = \mathit{-} 1이 이차방정식 anx2+2an+1x+an+2=0a _{n} x ^{2} + 2 a _{n+1} x + a _{n+2} = 0의 근이므로 an−2an+1+an+2=0a _{n} - 2 a _{n+1} + a _{n+2} = 0이다. 2an+1=an+an+22 a _{n + 1} = {a _{n} + a _{n + 2}}이므로 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 등차수열이다. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 첫째항을 aa(a≠0a \ne 0), 공차를 dd라 하면 an=a+(n−1)da _{n} = a + \left( n - 1 \right) d, an+2=a+(n+1)da _{n + 2} = a + \left( n + 1 \right) d 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱 (−1)×bn=an+2an\displaystyle \left( - 1 \right) \times b _{n} = \frac{a _{n + 2}}{a _{n}}이므로 bnb _{n}=−an+2an\displaystyle = \mathit{-} \frac{a _{n + 2}}{a _{n}}=−a+(n+1)da+(n−1)d\displaystyle = \mathit{-} \frac{a + \left( n + 1 \right) d}{a + \left( n - 1 \right) d} (ⅰ) d=0d = 0인 경우, lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}}=−aa\displaystyle = \mathit{-} \frac{a}{a}=−1= \mathit{-} 1 (ⅱ) d≠0d \ne 0인 경우, lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}}=−lim⁡n→∞dn+a+ddn+a−d\displaystyle = \mathit{-} \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{dn + a + d}{dn + a - d}=−1= \mathit{-} 1 따라서 lim⁡n→∞bn=−1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}} = \mathit{-} 1

태그

#등차수열#수열의 극한#근과 계수의 관계

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