근과 계수 관계

이차방정식 $\displaystyle x ^{2} + kx - \frac{1}{2} k ^{2} + 3 k = 0$이 서로 다른 두 실근을 가지므로 이차방정식 $\displaystyle x ^{2} + kx - \frac{1}{2} k ^{2} + 3 k = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D$$\displaystyle = k ^{2} - 4 \left( - \frac{1}{2} k ^{2} + 3 k \right)$$= 3 k \left( k - 4 \right) > 0$ $k < 0$ 또는 $k > 4$ $\cdots \cdots$㉠ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = - k$, $\displaystyle \alpha \beta = - \frac{1}{2} k ^{2} + 3 k$ 또한 $\alpha$는 이차방정식 $\displaystyle x ^{2} + kx - \frac{1}{2} k ^{2} + 3 k = 0$의 한 근이므로 $\displaystyle \alpha ^{2} + k \alpha - \frac{1}{2} k ^{2} + 3 k = 0$에서 $\displaystyle \alpha ^{2} = - k \alpha + \frac{1}{2} k ^{2} - 3 k$ $\alpha ^{2} - k \beta$$\displaystyle = - k \alpha + \frac{1}{2} k ^{2} - 3 k - k \beta$ $\displaystyle = - k \left( \alpha + \beta \right) + \frac{1}{2} k ^{2} - 3 k$ $\displaystyle = k ^{2} + \frac{1}{2} k ^{2} - 3 k$ $\displaystyle = \frac{3}{2} k ^{2} - 3 k = 12$ 에서 $\displaystyle \frac{3}{2} k ^{2} - 3 k - 12 = 0$, $\left( k + 2 \right) \left( k - 4 \right) = 0$ ㉠에 의하여 $k = - 2$ $\alpha + \beta = 2$, $\alpha \beta = - 8$ 따라서 $\alpha ^{2} + \beta ^{2}$$= \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 2 \alpha \beta$$= 2 ^{2} - 2 \times \left( - 8 \right) = 20$