공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

이차방정식 x2+x−1=0x ^{2} + x - 1 = 0의 두 근을 α,β\alpha , \beta라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. α+β=−1\alpha + \beta = - 1 ㄴ. βα+αβ=−3\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = - 3 ㄷ. α5+β5+α4+β4=α3+β3\alpha ^{5} + \beta ^{5} + \alpha ^{4} + \beta ^{4} = \alpha ^{3} + \beta ^{3}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기 α,β\alpha , \beta는 이차방정식 x2+x−1=0x ^{2} + x - 1 = 0의 두 근 α+β=−1,αβ=−1\alpha + \beta = - 1 , \alpha \beta = - 1 ㄱ. α+β=−1\alpha + \beta = - 1 ∴\therefore 참 ㄴ. βα+αβ=α2+β2αβ=(α+β)2−2αβαβ=−3\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha ^{2} + \beta ^{2}}{\alpha \beta} = \frac{( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta}{\alpha \beta} = - 3 ∴\therefore 참 ㄷ. α5+β5+α4+β4−α3−β3\alpha ^{5} + \beta ^{5} + \alpha ^{4} + \beta ^{4} - \alpha ^{3} - \beta ^{3} =α3(α2+α−1)+β3(β2+β−1)= \alpha ^{3} ( \alpha ^{2} + \alpha - 1 ) + \beta ^{3} ( \beta ^{2} + \beta - 1 ) α,β\alpha , \beta는 이차방정식 x2+x−1=0x ^{2} + x - 1 = 0의 두 근이므로 α2+α−1=0,β2+β−1=0\alpha ^{2} + \alpha - 1 = 0 , \beta ^{2} + \beta - 1 = 0 이다. α5+β5+α4+β4−α3−β3=0\alpha ^{5} + \beta ^{5} + \alpha ^{4} + \beta ^{4} - \alpha ^{3} - \beta ^{3} = 0 α5+β5+α4+β4=α3+β3\alpha ^{5} + \beta ^{5} + \alpha ^{4} + \beta ^{4} = \alpha ^{3} + \beta ^{3} ∴\therefore 참

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