근과 등차수열

[출제의도] 등차수열에 관련된 문제를 이용하여 해결할 수 있는가? $x$에 대한 이차방정식 $x ^{2} - nx + 4 ( n - 4 ) = 0$을 풀면 $( x - 4 ) ( x - n + 4 ) = 0$ $x = 4$ 또는 $x = n - 4$ 한편, 세 수 $1 , \alpha , \beta$가 등차수열을 이루므로 $2 \alpha = \beta + 1$ $\cdots \text{㉠}$ 이대, 다음 각 경우로 나눌 수 있다. (ⅰ) $\alpha = 4$이고, $\beta = n - 4$인 경우 이때, $\alpha < \beta$이므로 $n > 8$ 또, $\text{㉠}$에서 $8 = ( n - 4 ) + 1$ $n = 11$ 그러므로 조건을 만족시킨다. (ⅱ) $\alpha = n - 4$이고, $\beta = 4$ 이때, $\alpha < \beta$이므로 $n < 8$ 또, $\text{㉠}$에서 $2 ( n - 4 ) = 4 + 1$ $\displaystyle n = \frac{13}{2}$ $n$은 자연수이어야 하므로 조건을 만족시키지 못한다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 자연수의 값은 $11$이다.