대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근으로 만든 등비수열

문제

이차방정식 x2−kx+125=0x ^{2} - k x + 125 = 0의 두 근 α,β(α<β)\alpha , \beta ( \alpha < \beta )에 대하여 α,β−α,β\alpha , \beta - \alpha , \beta가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 양수 kk의 값을 구하시오. [4점]

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해설

x2−kx+125=0x ^{2} - kx + 125 = 0의 두 근이 α,β\alpha , \beta이므로 근과 계수의 관계에 의해 α+β=k\alpha + \beta = k, αβ=125\alpha \beta = 125 한편, α,β−α,β\alpha , \beta - \alpha , \beta가 이 순서로 등비수열을 이루므로 (β−α)2=αβ( \beta - \alpha ) ^{2} = \alpha \beta ∴(β−α)2=125\therefore ( \beta - \alpha ) ^{2} = 125 (α+β)2=(α−β)2+4αβ( \alpha + \beta ) ^{2} = ( \alpha - \beta ) ^{2} + 4 \alpha \beta=125+500=625= 125 + 500 = 625 ∴k=α+β=25(∵k>0)\therefore k = \alpha + \beta = 25 ( \because k > 0 )

태그

#등비중항#근과 계수의 관계

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