공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

근을 성분으로 한 행렬 곱

문제

이차방정식 x2−2x−1=0x ^{2} - 2 x - 1 = 0의 두 근을 α\alpha, β\beta라 하자. 두 행렬 A=(α2β0α2)\displaystyle A = \begin{pmatrix} \alpha ^{2} & \beta \\ 0 & \alpha ^{2} \end{pmatrix}, B=(β2α0β2)\displaystyle B = \begin{pmatrix} \beta ^{2} & \alpha \\ 0 & \beta ^{2} \end{pmatrix}에 대하여 행렬 ABAB의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계와 행렬의 곱셈을 관련지어 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 α+β=2\alpha + \beta = 2, αβ=−1\alpha \beta = - 1 … ㉠ AB=AB =(α2β0α2)\displaystyle \begin{pmatrix} \alpha ^{2} & \beta \\ 0 & \alpha ^{2} \end{pmatrix}(β2α0β2)\displaystyle \begin{pmatrix} \beta ^{2} & \alpha \\ 0 & \beta ^{2} \end{pmatrix}==(α2β2α3+β30α2β2)\displaystyle \begin{pmatrix} \alpha ^{2} \beta ^{2} & \alpha ^{3} + \beta ^{3} \\ 0 & \alpha ^{2} \beta ^{2} \end{pmatrix}이고 α3+β3=\alpha ^{3} + \beta ^{3} =(α+β)3−3αβ(α+β)( \alpha + \beta ) ^{3} - 3 \alpha \beta ( \alpha + \beta )=14= 14 … ㉡ ㉠, ㉡에 의해 AB=AB =(11401)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 14 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 따라서 ABA B의 모든 성분의 합은 1616이다.

태그

#행렬의 곱셈#근과 계수의 관계

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