대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

금융상품 기대자산

문제

어느 금융상품에 초기자산 $W _{0}$ 을 투자하고 $t$ 년이 지난 시점에서의 기대자산 $W$ 가 다음과 같이 주어진다고 한다. $\displaystyle W = \frac{W _{0}}{2} 10 ^{at} ( 1 + 10 ^{at} )$ (단, $W _{0} > 0$ , $t \geq 0$ 이고, $a$ 는 상수이다.) 이 금융상품에 초기자산 $w _{0}$ 을 투자하고 $15$ 년이 지난 시점에서의 기대자산은 초기자산의 $3$ 배이다. 이 금융상품에 초기자산 $w _{0}$ 을 투자하고 $30$ 년이 지난 시점에서의 기대자산이 초기자산의 $k$ 배일 때, 실수 $k$ 의 값은? (단, $w _{0} > 0$ ) [3점] ① $9$ ② $10$ ③ $11$ ④ $12$ ⑤ $13$

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②

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해설

[출제의도] 실생활 문제에서 지수방정식을 활용할 수 있는가? $\displaystyle \frac{W}{W _{0}} = \frac{1}{2} \times 10 ^{at} \left( 1 + 10 ^{at} \right)$ $\displaystyle 3 = \frac{1}{2} \times 10 ^{15 a} \left( 1 + 10 ^{15 a} \right)$ 에서 $\left( 10 ^{15 a} \right) ^{2} + 10 ^{15 a} - 6 = 0$ $\left( 10 ^{15 a} + 3 \right) \left( 10 ^{15 a} - 2 \right) = 0$ $10 ^{15 a} > 0$ 이므로 $10 ^{15 a} = 2$ $\therefore k$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 10 ^{30 a} \left( 1 + 10 ^{30 a} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times \left( 1 + 4 \right) = 10$

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