미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극솟점과 접선 거리

문제

함수 f(x)=13x3−x2−3x\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{3} x ^{3} - x ^{2} - 3 x는 x=ax = a에서 극솟값 bb를 가진다. 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프 위의 점 (2,f(2))( 2 , f ( 2 ) )에서 접하는 직선을 ll이라 할 때, 점 (a,b)( a , b )에서 직선 ll까지의 거리가 dd이다. 90d290 d ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

ⅰ) f′(x)=x2−2x−3=0f' ( x ) = x ^{2} - 2 x - 3 = 0 (x−3)(x+1)=0( x - 3 ) ( x + 1 ) = 0 ∴x=3\therefore x = 3에서 극솟값을 가진다. f(3)f ( 3 )=13⋅33−32−3⋅3\displaystyle = \frac{1}{3} \cdot 3 ^{3} - 3 ^{2} - 3 \cdot 3=−9= - 9 ∴a=3,b=−9\therefore a = 3 , b = - 9 ⅱ) 점 (2,f(2))( 2 , f ( 2 ) )에서의 접선은 y−f(2)=f′(2)(x−2)y - f ( 2 ) = f' ( 2 ) ( x - 2 ) y=−3x−43\displaystyle y = - 3 x - \frac{4}{3} 9x+3y+4=09 x + 3 y + 4 = 0과 점 (3, －9) 사이의 거리 dd는 d=∣27−27+4∣92+32=490\displaystyle d = \frac{\left| 27 - 27 + 4 \right|}{\sqrt{9 ^{2} + 3 ^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{90}} ∴90d2=90×1690=16\displaystyle \therefore 90 d ^{2} = 90 \times \frac{16}{90} = 16

태그

#극값#점과직선거리

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