미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한식과 미분계수

문제

미분가능한 함수 f(x)f ( x )f(1)=0f ( 1 ) = 0, limx1{f(x)}22f(x)1x=10\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - 2 f ( x )}{1 - x} = 10 을 만족시킬 때, x=1x = 1에서의 미분계수 f(1)f' ( 1 )의 값을 구하시오. [4점]

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해설

limx1{f(x)}22f(x)1x=limx1f(x){2f(x)}x1\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{{\left\{ f ( x ) \right\}} ^{2} - 2 f ( x )}{1 - x} = \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{f ( x ) \left\{ 2 - f ( x ) \right\}}{x - 1} =limx1f(x)f(1)x1×limx1{2f(x)}\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1} \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} \times \lim\limits _{x\rightarrow 1} \left\{ 2 - f ( x ) \right\} =f(1){2f(1)}=10= f' ( 1 ) \left\{ 2 - f ( 1 ) \right\} = 10 f(1)=5\therefore f' ( 1 ) = 5

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