미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한식을 이용한 미분계수 구하기

문제

미분가능한 함수 $f \left( x \right)$ 에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( 3 x - x ^{2} \right) - f \left( 0 \right)}{x} = \frac{1}{3}}$ 일 때, $f' \left( 0 \right)$ 의 값은? ① $\displaystyle \frac{1}{9}$ ② $\displaystyle \frac{1}{6}$ ③ $\displaystyle \frac{1}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{2}$ ⑤ $1$

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①

\displaystyle \frac{1}{9}

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해설

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f ( 3 x - x ^{2} ) - f ( 0 )}{x}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \left\{ \frac{f ( 3 x - x ^{2} ) - f ( 0 )}{3 x - x ^{2}} \cdot ( 3 - x ) \right\}$ $= f' ( 0 ) \cdot 3$ $\displaystyle = \frac{1}{3}$ ∴ $\displaystyle f' ( 0 ) = \frac{1}{9}$

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